TuyÓn  tËp  ®Ò  thi  häc  sinh  giái,  thi  vµo  líp  chuyªn,  líp  chÊt  luîng  cao













Së  gi¸o  dôc  ® o  t¹o
h néi













K× thi häc sinh giái th   nh phè
N¨ m h ä c 1 9 9 4 - 1 9 9 5
M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 1 )
Thêi gian: 150 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò
Ng  y thi :5 th¸ng 01 n¨m 1995


B i 1 (4 ®iÓm)

       
1995 chu so 9
Hái sè A cã chia hÕt cho sè B hay kh«ng , t¹i sao ?
B i 2 (4 ®iÓm)
B¹n ViÖt nãi víi b¹n Nam : “NÕu mét tø gi¸c cã hai gãc ®èi b  ng nhau ®ång
thêi cã mét ®−êng chÐo ®i qua trung ®iÓm cña ®−êng chÐo kia th× tø gi¸c ®ã l   h×nh
b×nh h  nh. ”. B¹n Nam nãi “§iÒu b¹n nãi l   sai råi ! ”. Ai nãi ®óng , ai nãi sai . T¹i
sao ?
B i 3 (4 ®iÓm)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh :

2 

1
x



5
2
B i 4 (4 ®iÓm)
Cho  ∆ABC  vu«ng  t¹i  A.  Mét  ®−êng  trßn  (O)  thay  ®æi  lu«n  lu«n  ®i  qua  hai
®iÓm  A,  B  v c¾t  c¸c  c¹nh  AC,  BC  t¹i  c¸c  ®iÓm  thø  hai  t−¬ng  øng  D,  E.  Gäi  F  l
®iÓm ®èi xøng víi E qua OD v I l giao ®iÓm cña BF víi ® −êng trung trùc cña AF
. T×m quÜ tÝch ®iÓm I.
B i 5 ( 4 ®iÓm)


S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn- Gia L©m-Hµ Néi
1



TuyÓn  tËp  ®Ò  thi  häc  sinh  giái,  thi  vµo  líp  chuyªn,  líp  chÊt  luîng  cao

Trªn mÆt  ph¼ng  cã 1994 ®iÓm t« xanh  sao cho kh«ng  cã  3  ®iÓm  n  o th¼ng h  ng.
Chøng  minh  r»ng  cã  thÓ  kΠ ®−îc  hai  ®−êng  th¼ng  c¾t  nhau  t¹o  th  nh  cÆp  gãc  ®èi
®Ønh  sao  cho  víi  mçi  cÆp  gãc  ®èi  ®Ønh  ®ã,  sè  ®iÓm  xanh  trªn  miÒn  trong  gãc  n  y
b»ng sè ®iÓm xanh trªn miÒn trong gãc kia.


Së  gi¸o  dôc  ® o  t¹o
h néi


K× thi häc sinh giái th   nh phè
N¨ m h ä c 1 9 9 4 - 1 9 9 5
M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 2 )
Thêi gian: 180 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò
Ng  y thi :13 th¸ng 01 n¨m 1995
B i 1 (4 ®iÓm)
XÐt 1995 sè tù nhiªn a1 , a2 , ....  a 19 95 cã tæng b»ng 1994x1995.
§Æt P = a1 3 +a2 3 +a 33 + .....a 19 95 3. Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 3.
B i 2 (4 ®iÓm)
Cho  ngò  gi¸c  ABCDE  néi  tiÕp  ®−êng  trßn  (O;R).  Gäi  M,  N  lÇn  l−ît  l trung
®iÓm cña CD, EA. BiÕt AB = CD =DE = R. Chøng minh r»ng ∆ BMN ®Òu.
B  i 3 (4 ®iÓm)
Gi¶i ph −¬ng tr×nh :(x+2) 2+ (x+3)3 + (x+4)4 = 2
B  i 4 (4 ®iÓm)
Cho  tø  gi¸c  ABCD  néi  tiÕp  ®−êng  trßn  (O).  Gäi  A/B / C/D /  l ¶nh  cña  tø  gi¸c
ABCD  trong  phÐp quay  t©m  D.  Chøng  minh  r»ng  c¸c ®−êng  th¼ng  AA/,  BB /  ,  CC /  ,
DD/ ®ång qui t¹i mét ®iÓm.
B i 5 (4 ®iÓm)
Cho  lôc  gi¸c  ®Òu  ABCDEF,  c¸c  ®iÓm  M,  N,  P  theo  thø  tù  l giao  ®iÓm  cña
c¸